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北京大学2000年研究生入学考试:概率统计与线性规划试题

来源:    发布时间:2013-09-16 16:36:35
一、(8分)假设事件A与Bi(i=1,2,...,n)相互独立,其中B1,B2,...,Bn两两不相容。证明A的补集与B1+B2+...+Bn相互独立。

二、(10分)已知随机变量X的分布函数为



试求将X标准化之后得到的变量Y(即Y=(X-μ)/σ,其中μ 和σ分别表示X的期望和标准差)的分布函数。

三、(12分)设(X,Y)的联合密度函数为



其中,c是某个待定常数。

试求:1、P{X+Y>1|X>0};

2、X与Y是否相互独立。

四、(8分)在某个公共汽车站一小时内等候的人数服从泊松(Poisson)分布,根据以往大量的随机观测平均每小时有36.73人候车,请问一小时内最可能在此车站候车的人数是多少?

五、(12分)设总体服从区间[0,θ]上(θ>0)的均匀分布,X1,X2,...,Xn是从中抽取的一个简单随机样本。

试求:1、θ的最大似然估计;

2、θ的一个置信度为1-α 的置信区间(α >0)。

六、(10分)某个厂家生产的10件产品中次品的个数未知。甲从中有放回地抽取了n次,结果没有抽到次品,并由此接受这10件产品中没有次品的假设。请甲可能会犯什么类型的错误?为了使得甲犯该类型错误的最大概率不超过60%,他至少需要抽取多少次?



八、(6分)试证明:若线性规划有两个不同的最优解,则它有无穷多个最优解。

九、(12分)线性规划的目标函数是Max z,在用标准的单纯型法求解的过程中,得到下表(其中a,b是常数,部分数据有缺失):

C258000
CbXbBX1X2X3X4X5X6
 X6200 3 0 
 X2BA   1/2 
 X48-2 -1 1 
Cj-Zj   -2   


1) 在答卷纸上画出此单纯型表,并在所有空格中填上适当的数(其中可含参数a,b)。

2) 判断以下四种情况在什么时候成立,并简要说明理由。

(1)此解为最优解?请写出相应的基解和目标函数值。

(2)此解为最优解,此规划又有无穷多最优解?

(3)此规划有无界解?

(4)此解不是最优解,且能用单纯型法得到一下一个基解。

十、(12分)某地区有三个煤矿,专供四个城镇之用。已知各煤矿与各城镇之间的运输费用矩阵如下(单位:元/吨): 。已知三个煤矿的产量分别为25000吨,18000吨,17000吨;四个城镇的需求量分别为12000吨,15000吨,18000吨,24000吨。若不能满足需求,各城市的最低需求分别为8000吨,10000吨,12000吨,15000吨。

(1)试建立使本地区四城镇煤炭运费最小的线性规划模型。

(2)写出此线性规划的对偶规划。


※来源:162.105.182.3/students/99yan/99yyjjx
北大光华(张翔录入、雅舍工作室整理

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